Toán 12

Cho tập hợp \[ X = \{x \mid x \in \mathbb{Z}, -5 \le x \le 5, x \ne 0\}. \] Chọn ngẫu nhiên 4 số đôi một phân biệt \(a, b, c, d \in X\). Tính xác suất để hàm số \[ y = \frac{ax + b}{cx + d}, \quad \text{với } ad \ne bc, \] có đồ thị \((C)\) mà cả tiệm cận đứng của \((C)\) đều cắt trục \(Ox\) theo chiều dương.

Cho hàm số \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - mx \] và \[ g(x) = \frac{x - m}{x - 1}, \quad \text{tham số } m \ne 1, \] có đồ thị \((C_1), (C_2)\). Biết rằng tồn tại đúng 2 số \(x_0 \in (2;3)\) sao cho nếu gọi \(d_1, d_2\) là tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ \(x_0\) thuộc \((C_1), (C_2)\) và \(d_1, d_2\) cắt nhau tại \(A\), còn \(d_1, d_2\) cắt trục \(Ox\) ở \(B, C\) thì \(AB = AC\). Tìm tất cả giá trị \(m\).

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(A'\) đến \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(\sqrt{3}\) và \(2\), góc giữa hai mặt phẳng \((BCC'B')\) và \((ACC'A')\) bằng \(60^\circ\). Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \[ A'M = \sqrt{13}. \] a) Tính khoảng cách từ \(M\) đến \(AA'\). b) Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Cho hàm số \[ y = \frac{x + 2}{x - 1} \] có đồ thị \((C)\). Gọi \(d\) là đường thẳng di động đi qua điểm \(I(1;1)\) và cắt \((C)\) tại hai điểm \(M, N\). Tính khoảng cách từ điểm \(A(2;-3)\) đến \(d\) khi tam giác \(AMN\) có diện tích nhỏ nhất.

Giải phương trình: \[ 4^{\log_2 x} + \log_2\left(-2 + x^{\log_2 x}\right) = 2^{\log_2 x} + \log_{2020} x + 2 \]