Cho tập hợp gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36. Chứng minh rằng trong 25 phần tử bất kỳ của tập hợp \(A\) luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Cho đoạn thẳng \(BC\) cố định và một điểm \(A\) thay đổi sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Hai đường phân giác trong \(BD, CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(I\). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
\[
S=\frac{BD^2}{BI^2}+\frac{CE^2}{CI^2}
\]
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\); \(M\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(E\).
1. Chứng minh tứ giác \(ABIM\) là hình bình hành.
2. Gọi \(N,F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BD\); \(K\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(F\).
Chứng minh: ba đường thẳng \(IN\), \(MF\), \(KE\) đồng quy.
Một bạn học sinh có tờ giấy màu hình tam giác \(ABC\) có \(AB=3\) cm; \(AC=4\) cm; \(BC=5\) cm. Em muốn cắt ra hình chữ nhật \(MNPQ\) sao cho \(M,N\) thuộc cạnh \(BC\), \(P\) thuộc cạnh \(AC\), \(Q\) thuộc cạnh \(AB\). Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật \(MNPQ\) để tờ giấy màu cắt ra có diện tích lớn nhất.
Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80 km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15 km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10 km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó.
Tìm cặp số nguyên \(x,y\) thỏa mãn:
\[
2y(2x^2+1)-2x(2y^2+1)+1=x^3y^3
\]
Trong một cái hộp có 5 quả bóng trắng, 6 quả bóng xanh và 7 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra cùng một lúc 4 quả. Tính xác suất để 4 quả lấy ra có đủ cả 3 màu.
Tìm \(x\) biết:
\[
\left(\frac{x+3}{x-2}\right)^2+6\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^2-7\frac{x^2-9}{x^2-4}=0
\]
Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\). Tính giá trị của biểu thức
\[
M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}-\frac{2}{a+b+c-abc}
\]
Rút gọn biểu thức:
\[
P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)
\]
