Toán 9

Cho các số thực \(x, y, z > 0\) và \[ x + 2y + 3z \ge 20. \] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ P = x + y + z + \frac{3}{x} + \frac{9}{2y} + \frac{4}{z}. \]

Cho đường tròn \((O;R)\) đường kính \(AB\). Điểm \(C\) thuộc đường tròn sao cho \(AC > CB\), \(C \ne A, B\). Kẻ \(CH \perp AB\) tại \(H\); kẻ \(OI \perp AC\) tại \(I\). a) Chứng minh 4 điểm \(C, H, O, I\) cùng thuộc một đường tròn. b) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn \((O;R)\), tia \(OI\) cắt \(Ax\) tại \(M\). Chứng minh: \[ OI \cdot OM = R^2. \] Tính độ dài đoạn \(OI\) biết \(OM = 2R\) và \(R = 6\,\text{cm}\). c) Gọi giao điểm \(BM\) với \(CH\) là \(K\). Chứng minh tam giác \(AMO\) đồng dạng với tam giác \(HCB\) và \[ KC = KH. \] d) Giả sử \((O;R)\) cố định, điểm \(C\) thay đổi trên đường tròn nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện của đề bài. Xác định vị trí của \(C\) để chu vi của tam giác \(OHC\) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo \(R\).

Cho hàm số: \[ y = (m + 1)x + 3 \quad (m \ne -1) \] có đồ thị là đường thẳng \((d)\). a) Vẽ đồ thị hàm số khi \(m = 2\). b) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) song song với đường thẳng: \[ y = -2x + 1. \] c) Tìm \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(9\).

Cho hai biểu thức: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}, \quad B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 8}{x - 5\sqrt{x} + 6} \] với \(x \ge 0, x \ne 4, x \ne 9\). a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{4}\). b) Rút gọn biểu thức \(B\). c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(B < A\).

1. Thực hiện phép tính: a) \[2\sqrt{75} - 8\sqrt{27} + 4\sqrt{48}\] b) \[ \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - 1} + \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} - 2\sqrt{5} \] 2. Giải phương trình: \[x - 2\sqrt{x - 3} = 3\]