Toán 11

a) Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1 = 6\), và \[ u_{n+1} = \frac{u_n^2 - n(u_n - 1) + n^2}{n}, \quad n \ge 1. \] Tính giới hạn: \[ \lim \left( \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \cdots + \frac{1}{u_n} \right) \] b) Cho ba số thực \(a, b, c\) thuộc đoạn \([0;2]\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ P = (a^2c + c^2b - b^2c - c^2a - ab)(a + b + c) \]

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(D\) lên các đường thẳng \(AB, BC\) lần lượt là \(M(-2;2), N(2;-2)\). Đường thẳng \(BD\) có phương trình: \[ 3x - 5y + 1 = 0. \] Tìm tọa độ điểm \(A\).

Cho hình chóp \(SABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(SA = SB = SC = a\). Đặt \(x = SD\) \((0 < x < a\sqrt{3})\). a) Tính góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABCD)\), biết rằng \(x = a\). b) Tìm \(x\) theo \(a\) để tích \(AC \cdot SD\) đạt giá trị lớn nhất.

Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn.

a) Giải phương trình: \[ \frac{2\sin^2\left(\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{3}\cos 3x}{1 - 2\sin x} = 1 \] b) Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 1 = 2(xy - x + y) \\ x^2 + 3y^2 + 5x - 12 = (12 - y)\sqrt{3 - x} \end{cases} \quad (x, y \in \mathbb{R}) \]